Cambio de base con decimales

Conversión de base N a decimal

Ejemplo con decimales

\[ \begin{align}\begin{aligned}1010.101_{2)} &= 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0+1 \times 2^{-1}+0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3} = 10.625_{10)}\\ A.A_{16)} &= (A=10)×16^0 + (A=10)×16^{-1} = 10.625_{10)}\\ 12.5_{8)} &= 1 \times 8^1 + 2 \times 8^0 + 5 \times 8^{-1} = 10.625_{10)}\\ 22.22_{4)} &= 2 \times 4^1 + 2 \times 4^0 + 2 \times 4^{-1}+2 \times 4^{-2} = 10.625_{10)}\end{aligned}\end{align} \]

Base decimal a base N

1. Parte entera; dividiendo hasta coeficiente más pequeño que n

2. Parte fraccionaria; multiplicando por n

• Ejemplo de base decimal a base binaria con decimales 10.625 _{10) → 2)}

  Parte entera

  \[\begin{split}\left\uparrow \begin{matrix} 10 : 2 &= 5\ resto\ \mathbf{0} \\ 5 : 2 &= 2\ resto\ \mathbf{1} \\ 2 : 2 &= 1\ resto\ \mathbf{0} \\ 1 : 2 &= 0\ resto\ \mathbf{1} \end{matrix} \right\uparrow\end{split}\]

  Parte decimal

  \[\begin{split}\left\downarrow \begin{matrix} 0.625 \times 2 = \mathbf{1}.25 \\ 0.250 \times 2 = \mathbf{0}.50 \\ 0.500 \times 2 = \mathbf{1}.00 \end{matrix}\right\downarrow\end{split}\]

  Finalmente queda:

  \[10.625_{10)} = 1010.101_{2)}\]

• Ejemplo de base decimal a base hexadecimal con decimales 10.625 _{10)→ 16)} =

  Parte decimal

  \[ \begin{align}\begin{aligned}0.625 \times 16 &= 10 = A\\10.625_{10)} &= A.A_{16)}\end{aligned}\end{align} \]

• Ejemplo de base decimal a base octal con decimales 10.625 _{10)→ 8)} =

  Parte entera

  \[ \begin{align}\begin{aligned}10 : 8 &= 1\ resto\ \mathbf{2}\\1 : 8 &= 0\ resto\ \mathbf{1}\end{aligned}\end{align} \]

  Parte decimal

  \[ \begin{align}\begin{aligned}0.625 \times 8 &= \mathbf{5}.00\\10.625_{10)} &= 12.5_{8)}\end{aligned}\end{align} \]

• Ejemplo con agrupaciones, entre base 2,8 y 16 podemos utilizar también el método de las agrupaciones

  1010.101 ₂₎ = 001 010 . 101 = 12.5 ₈₎

  1010.101 ₂₎ = 1010 . 1010 = A.A ₁₆₎

Operaciones:

Vemos a continuación un simple ejemplo de sumas en binario, octal y hexadecimal :

Binario

\[ \begin{align}\begin{aligned}1010.101_{2)}&\\+1010.101_{2)}&\\----- &\\10101.01_{2)} &= 21.25_{10}\end{aligned}\end{align} \]

Octal

\[ \begin{align}\begin{aligned}12.5_{8)}&\\+12.5_{8)}&\\--- &\\25.2_{8)} &= 21.25_{10}\end{aligned}\end{align} \]

ayuda: 5:sub:8) + 5:sub:8) = 12:sub:8), ponemos 2 y 1 de acarreo

Hexadecimal

\[ \begin{align}\begin{aligned}A.A_{16} = & (10).(10)_{16}\\+A.A_{16)} = & (10).(10)_{16}\\----&-----\\& (20).(20)_{16} = (14).(14)_{16} = (1\ acarreo)= 15.4_{16} = 21.25_{10}\end{aligned}\end{align} \]

Otra forma de hacerlo en base hexadecimal es teniendo en cuenta que A+A=14, A+B=15…